无套利定价方法 与期权平价公式的推导

本篇文章1087字，读完约3分钟

■第24期《选择学院》

无套利定价是衍生产品定价中的一个重要原则，在远期和期货合约定价、现货-期货平价公式、期权合约定价、期权平价公式等重要问题的推导和证明中起着关键作用。今天，笔者将向读者讲述无套利定价方法，并以期权平价公式的推导为例帮助读者理解。

一，无套利定价方法的概念

要理解无套利定价，我们必须首先解释什么是套利。套利是指利用市场上的价差获得无风险回报的行为。就衍生品而言，衍生品价格与标的资产价格有一定的关系，衍生品价格取决于标的资产价格的变化。如果衍生产品的市场价格偏离其合理价格，并且这种偏离能够覆盖相应的交易成本，投资者将买入价格被低估的资产，卖出价格被高估的资产进行套利。这种买卖力量将把错误定价的资产拉回到合理的价格，所以空.没有套利无套利是指这种没有套利机会的价格均衡。

无套利定价的关键是复制资产，即用一组资产复制另一组资产，使两组资产在期初和期末的现金流相同。一般来说，复制的资产是定价复杂的资产，如期权等衍生品；用于复制的资产是具有简单定价和明显现金流特征的资产，如股票和零息债券。如果这两组资产在期末的价格是相同的，那么按照无套利定价，它们在期初的价格也应该是相同的，否则，套利可以通过“低买高卖”来进行。

在期权平价公式的证明中，我们将采用无套利定价和复制资产的方法。首先，构建了两种资产组合，一种包含由现金流决定的看涨期权和零息债券，另一种包含看跌期权和标的股票。因为这两种组合在期末具有相同的价值，所以它们在期初的价格应该相等，这样就可以推导出看涨期权和看跌期权之间的平价关系。当然，欧洲期权和美国期权的证明是不同的，所以我们将逐一分析。

第二，利用无套利定价证明期权平价公式

(1)无红利的欧洲期权

在标的资产没有红利的情况下，为了推导看涨期权和看跌期权价格之间的关系，我们考虑了以下两种资产组合:

投资组合甲:一个欧洲看涨期权加上一个零息票债券，在时间t返回K

投资组合乙:一个欧洲看跌期权加上一个基础资产单位

看涨期权和看跌期权的执行价格为k，期限为T..投资组合a的当前价值是欧洲看涨期权c的价值和零息债券ke-rt的价值；投资组合B的现值是欧洲看跌期权和标的资产S的现值

如果标的证券价格st在时间T高于行权价格K，看涨期权将被行权。那么在时间t，组合a的值是(st-k)+k=st..如果st低于k，看涨期权将变得毫无价值，投资组合a的价值为k。

用同样的分析思维看组合b。在时间t，如果st高于k，看跌期权将变得无价值，投资组合b的价值为st。如果st低于k，看跌期权将被行使，并且组合价值为(k-st)+st = k